यदि किसी चतुर्भुज का प्रत्येक विकर्ण इसे दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभक्त करे, तो सिद्ध कीजिए कि यह चतुर्भुज समान्तर चतुर्भुज है।

Explanation

ज्ञात है : चतुर्भुज ABCD जिसमे
क्षेत्रफल `(DeltaABC)` = क्षेत्रफल `(DeltaACD)`
तथा क्षेत्रफल `(DeltaABD)` = क्षेत्रफल (BCD)
सिद्ध करना है : ABCD समान्तर चतुर्भुज है।

विश्लेषण: ABCD को समान्तर चतुर्भुज सिद्ध करने के लिए हमें सिद्ध करना होगा कि `AB||DC` तथा `AD||BC` क्या `AB||DC` है ? क्षेत्रफल `(DeltaABD)` तथा क्षेत्रफल `(DeltaABC)` में क्या कोई सम्बन्ध है ? यदि `AB||DC` तो क्षेत्रफल `(DeltaABD)` = क्षेत्रफल `(DeltaABC)` क्या इसका विलोम भी सत्य है। हाँ है, चूँकि `DeltaABD" और " DeltaABC` का उभयनिष्ठ आधार AB है तथा यदि उनके क्षेत्रफल समान है, तो उनकी ऊँचाइयाँ भी समान होगी, इत्यदि। अब क्षेत्रफल `(DeltaABC)` = क्षेत्रफल `(DeltaABD)` कैसे सिद्ध करे । शायद हमें क्षेत्रफल (चतुर्भुज ABCD ) से सहायता मिले । हाँ यही ठीक है। अब हम उपपति लिखते है।
उपपति `:'` क्षेत्रफल `(DeltaABC)` = क्षेत्रफल `(DeltaACD)`
तथा क्षेत्रफल `(DeltaABC)` + क्षेत्रफल `(DeltaACD)` = क्षेत्रफल (चतुर्भुज ABCD)
`:.` क्षेत्रफल `(DeltaABD)=(1)/(2)`
इसी प्रकार, क्षेत्रफल `(DeltaABD)=(1)/(2)` क्षेत्रफल (चतुर्भुज ABCD )
अतः क्षेत्रफल `(DeltaABC)` = क्षेत्रफल `(DeltaABD)`
परन्तु इन त्रिभुजों का आधार AB उभयनिष्ठ है।
`:.(DeltaABC)` की बिन्दु C से ऊंचाई `=DeltaABD` की बिन्दु D से ऊंचाई ।
अतः `DC||AB`
इसी प्रकार `AD||BC`
`:.ABCD` समान्तर चतुर्भुज हुआ।