एक इलेक्ट्रॉन किसी हाइड्रोजन परमाणु के विभिन्न उत्तेजित अवस्थाओं से विकिरण उतसर्जित करके निम्नतम अवस्था में आ जाता है। माना की `lambda_(n)` तथा `lambda_(g)` n वीं अवस्था से निम्नतम अवस्था में इलेक्ट्रॉन की दी-ब्रोगली तरगदैर्घ्य है। माना n वीं अवस्था से निम्नतम अवस्था में संक्रमण द्वारा उत्सर्जित फोटॉन की तरंगदैर्घ्य `Lambda_(n)` है। n के बड़े मान के लिए (यदि A तथा स्थिरांक B हैं) :

Options

A. `Lambda_(n)^(2)~~=A+Blambda_(n)^(2)`
B. `Lambda_(n)^(2)~~lambda`
C. `Lambda_(n)~~A+(B)/(lambda_(n)^(2))`
D. `Lambda_(n)~~A+Blambda_(n)`.

Answer

C

Explanation

`lambda_(n)=("h")/("mv"),K_(n)=(1)/(2)"mv"^(2)" or "v=sqrt((2K_(n))/(m))`
`:.lambda_(n)=(h)/(sqrt(2"mK"_(n)))" अथवा "K_(n)=(h^(2))/(2"m"lambda_(n)""^(2)),K_(g)=(h^(2))/(2mlambda_(g)^(2))`
`K_(g)-K_(n)=(h^(2))/(2m)[(1)/(lambda_(g)^(2))-(1)/(lambda_(n)^(2))]`
`E_(n)=-K_(n)`
उत्सर्जित फोटॉन के लिये,
`("hc")/(Lambda_(n))=E_(n)-E_(g)=K_(g)-K_(n)`
`Lambda_(n)=("hc")/(K_(g)-K_(n))=("hc")/((h^(2))/(2m)((1)/(lambda_(g)""^(2))-(1)/(lambda_(n)""^(2))))`
`=(2mc)/(h((lambda_(n)^(2)-lambda_(g)^(2))/(lambda_(g)^(2)lambda_(n)^(2))))=(2mclambda_(g)^(2)lambda_(n)^(2))/(h(lambda_(n)^(2)-lambda_(g)^(2)))`
क्योंकि `lambda_(n)propn:.lambda_(n)gtgtlambda_(g)`
`Lambda_(n)=(2mclambda_(g)^(2))/(h)[1-((lambda_(g))/(lambda_(n)))^(2)]^(-1)`
`=(2mclambda_(g)^(2))/(h)[1+((lambda_(g))/(lambda_(n)))^(2)+...]`
`=A+(B)/(lambda_(n)^(2)),`
जहाँ `A=(2mclambda_(g)^(2))/(h)" तथा "B=(2mclambda_(g)^(4))/(h).`