`10cm` त्रिज्या की कोई ठोस चक्रिका तथा इतनी ही त्रिज्या का कोई छल्ला किसी क्षैतिज मेज पर एक क्षण `10 pi rads^(-1)` की कोणीय चाल से रखे जाते हैं। इनमें से कौन पहले लोकटनिक गति आरम्भ कर देगा? गतिज घर्षण गुणांक `mu_(k)=0.2`

Explanation

माना चक्रिका का दव्यमान `m` व त्रिज्या `R` है। माना चक्रिका का प्रारम्भिक कोणीय वेग `omega_(0)` तथा मंदन के बाद कोणीय वेग `omega` हो जाता है। यह भी माना कि चक्रिका के द्रव्यमान केंद्र का वेग `v_(cm)` है। घर्षण के प्रभाव में यदि द्रव्यमान केन्द्र में उत्पन्न त्वरण a हो तो
`f_(k)=ma`
परंतु `f_(k)=mu_(k)N=mu_(k)mg`
अतः`mu_(k)mg=ma`
अथवा `a=mu_(k)g`…………i
चूंकि घर्षण बल चक्रिका के पृष्ठ पर कार्यरत है अतः घूर्णन अक्ष जो कि चक्रिका के द्रव्यमान-केन्द्र से होकर जाती है के अनुदिश घर्षण बल द्वारा उत्पन्न बल –आघूर्ण
`tau=f_(k)xxR=I alpha`
अथवा `mu_(k)m g R=I alpha`
अथवा `alpha=(mu_(k)m g R)/I`………..ii
प्रारम्भ में चक्रिका के द्रव्यमान –केंद्र का वेग `u=0` माना `t` समय पश्चात `v_(cm)` हो जाता है तब
`v_(cm)=u+at=0+mu_(k) g t `
अथवा `v_(cm)=mu_(k) g t`…………iii
तथा चकती का कोणीय वेग
`omega=omega_(0)-alphat`
अथवा `omega=omega_(0)-(mu_(k)m g R)/I t `………..iv
परंतु विशुद्ध लुढ़कन के लिए `v_(cm)=R omegas`
समीकरण v में समीकरण iii व iv का उपयोग करने पर
`mu_(k) g t =(omega_(0)-(mu_(k)m g R)/I t )xxR`
अथवा `mu_(k) g t =omega_(0)R-(mu_(k)m g R^(2)t)/I`
अथवा `t(1+(mR^(2))/I)mu_(k)g=omega_(0)R`
अथवा `t=(omega_(0)R)/((1+(mR^(2))/I)mu_(k)g)`
परंतु छल्ले के लिए `I=mR^(2)` तथा चक्रिका के लिए `I=1/2mR^(2)`
अतः छल्ले के लिए समय `t_(1)=(omega_(0)R)/(2mu_(k)g)`
तथा चक्रिका छल्ले की अपेक्षा पले शुद्ध लुढ़कने शुरू कर देगी।