कणों के किसी निकाय की गति को इसके द्रव्यमान केंद्र की गति और द्रव्यमान केंद्र के परितः गति के अलग-अलग करके विचार करना। दर्शाइए कि
a. `p=p’_(i)+m_(i)v,` जहां `p_(i)` (`m_(i)` द्रव्यमान वाले) `i` वें कण का संवेग है और `p’_(i)=m_(i)v’_(i)` ध्यान दें कि `v’_(i)` द्रव्यमान –केंद्र के सापेक्ष `i` वें कण का वेग है। द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा का उपयोग करके यह भी सिद्ध कीजिए कि `Sigmap’_(t)=0`
b. `K=K’+1/2Mv^(2)`
`K` कणों के निकाय की कुल गतिज ऊर्जा `K’=` निकाय की कुल गतिज ऊर्जा जबकि कणों की गतिज ऊर्जा द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष ली जाये। `Mv^(2)//2` सम्पूर्ण निकाय के (अर्थात निकाय के द्रव्यमान –केंद्र के) स्थानान्तरण की गतिज ऊर्जा है। इस परिणाम का उपयोग भाग 7.14 में किया गया है।
c. `L=L’+RxxMv`
जहां `L’=Sigmar’_(i)xxP’_(i)` द्रव्यमान के परितः निकाय का कोणीय संवेग है जिसकी गण्ना में वेग द्रव्यमान-केंद्र के सापेक्ष मापे गये हैं। याद कीजिए `r’_(i)=r_(i)-R,` शेष सभी चिन्ह अध्याय में प्रयुक्त विभिन्न राशियों के मानक चिन्ह हैं। ध्यान दें कि `L’` द्रव्यमान –केंद्र के परितः निकाय का कोणीय संवेग एवं‌ `MRxxv` इसके द्रव्यमान केंद्र का कोणीय संवेग है।
d. `(dL’)/(dt)=Sigmar’_(i)xx(dp’)/(dt)`
यह भी दर्शाइए कि `(dL’)/(dt)=tau_("ext")^(‘)`
(जहां `tau_("ext")^(i)` द्रव्यमान केंद्र के परितः निकाय पर लगने वाले सभी बाह्य बल आघूर्ण है)

Explanation

a. मान लिया निकाय में `n` कण हैं जिनके द्रव्यमान क्रमश: `m_(1),m_(2),m_(3),……..,m_(n)` है तथा जिनके वेग क्रमशः ‌`vecv_(1),vecv_(2),vecv_(3),……,vecv_(n)` है। माना द्रव्यमान केंद्र का वेग `vecv` है तथा संवेग `vecp` है। यदि निकाय के `i` वे कण का द्रव्यमान-केंद्र के सापेक्ष वेग `vecv_(i)^(‘)` हो, तो
`vecv_(i)^(‘)=vecv_(i)-vecv`
दोनों ओर `m_(i)` से गुणा करने पर
`m_(i)vecv_(i)^(‘)=m_(i)vecv_(i)-m_(i)vecv`
अथवा `vecvp^(‘)=vecp_(i)-m_(i)vecv`
अथवा `vecp_(i)=vecp^(‘)+m_(i)vecv`…………i [प्रथम परिणाम]
इस परिणाम को सभी `n` कणों के लिए उपयोग करने पर
`sum_(i=1)^(n)vecp_(i)=sum_(i=1)^(n)m_(i)vecv_(i)^(‘)+vecv sum_(i=1)^(n)m_(i)`…………ii
अथवा `sum_(i=1)^(n)m_(i)vecv_(i)^(‘)=sum_(i=1)^(n)m_(i)(vec(dr_(i)^(‘)))/(dt)`
लेकिन द्रव्यमान-केंद्र का परिभाषा से `m_(i)vecr_(i)=0`
तब `sum_(i=1)^(n)m_(i)(dvecr_(i)^(‘))/(dt)=0impliessum_(i=1)^(n)m+(k)vecv_(i)^(‘)=0`
`implies sumvecp=0` …………….iii [द्वितीय परिणाम]
b. समीकरण ii का स्वयं के साथ अदिश गुणन लेने पर
`sum_(i=1)^(n)m_(i)vecv_(i).sum_(i=1)^(n)m_(i)vecv_(i)=sum_(i=1)^(n)m_(i)(vecv_(i)^(‘)+vecv).sum_(i=1)^(n)m_(i)(vecv_(i)^(‘)+vecv)`
अथवा `M^(2)sum_(i=1)^(n)vecv_(i)^(2)=M^(2)vecv’_(i)^(2)+2M^(2)sum_(i=1)^(n)vecv_(i).vecv_(i)^(‘)+M^(2)v^(2)`
`:' vecv_(i).vecv_(i)=v_(i)^(2)` तथा `sumvecv_(i).vecv_(i)^(‘)=0`
अतः `M^(2)sum_(i=1)^(n)v_(i)^(2)=M^(2)sum_(i=1)^(n)v’_(i)^(2)+M^(2)v^(2)`
अथवा `1/2M^(2)sum_(i=1)^(n)v_(i)^(2)=1/2M sum_(i=1)^(n)v’_(i)^(2)+1/2Mv^(2)`
या `K=K’+1/2Mv^(2)`…………iv
c. `sum_(i=1)^(n)vecr_(i)` का `vecp_(i)=vecp_(i)^(‘)+m_(i)v` के साथ वेक्टर गुणन लेने पर
`sum_(i=1)^(n)vecr_(i)xxvecp_(i)=sum_(i=q)^(n)vecr_(i)xxvecp_(i)^(‘)+sum_(i=1)^(n)vecr_(i)xxm_(i)vecv`
अथवा `vecL=vecL’+sum_(i=1)^(n)vecRxxvecp_(i)^(‘)+sum_(i=1)^(n)vecr_(i)xxm_(i)vecv+sum_(r=1)^(n)vecRxxm_(i)vecv`
जहां `vecR` द्रव्यमान –केंद्र का स्थिति सदिश है।
परंतु `vecRxxsum_(i=1)^(n)vecp_(i)^(‘)=0,sum_(i=1)^(n)vecr_(i)^(‘)xxm_(i)vecv=0` तथा `sum_(i=1)^(n)m_(i)=M`
अतः `vecL=vecL’+vecRxxMvecv`…………..v
d. सम्पूण निकाय का कोणीय संवेग
` vecL’=sum vecr_(i)^(‘)xxvecp’`
अवकलन करने पर
`(dvecL’)/(dt)=d/(dt)(sum vecr_(i)^(‘)xxvecp)`
`=d/(dt)(sum vecr_(i)^(‘))xxvecp’+sumvecr_(i)^(‘)xd/(dt)(vecp_(i)^(‘))`
`d/(dt)(sum(i=1)^(n)m_(i)vecr_(i)^(‘))xxvecr_(i)^(‘)+sum_(i=1)^(n)vecr_(q)^(‘)xxd/(dt)(vecp_(i)^(‘))`
जहां `vecr_(i)^(‘),i` वें कण का द्रव्यमान-केंद्र के सापेक्ष स्थिति सदिश है स्पष्टतः
`sum_(i)vecr_(i)^(‘)=0`
तब `(vec(dL’))/(dt)=sum_(i=1)^(n)vecr_(i)^(‘)xxd/(dt)(vecp_(i)^(‘))`…………….vi
अथवा `(vec(dL))’/(dt)=sum_(i=1)^(n)vecr_(i)^(‘)xxd/(dt)xx(p_(i)^(‘))`………….vi
अथवा `(vec(dL))/(dt)=sum_(i=1)^(n) vecr_(i)^(‘)xxm_(i)d/(dt)(vecv_(i)^(‘))`
लेकिन `m_(i)d/(dt)(vecv_(i)^(‘))=i` वें कण पर लगने वाला बाह्य बल `=vecF_("ext")^(‘)`
और `sum vecr_(i)^(‘)xxvecF_("ext")^(‘)=` बाह्य बल आघूर्ण `vec(tau)_("ext")`
इस प्रकार `(vec(dL’))/(dt)=vec(tau)_("ext")^(‘)`…………….vii