M द्रव्यमान की एक पतली एकसमान वलयाकार डिस्क (चित्र देखिए) की बाहा एवं आन्तरिक त्रिज्यायें क्रमश: 4R तथा 3R है। एक एकांक द्रव्यमान को डिस्क की अक्ष पर स्थित बिन्दु P से अन्नत तक ले जाने में किया गया कार्य है :

Options

A. `(2GM)/(7R)(4sqrt(2)-5)`
B. `-(2GM)/(7R)(4sqrt(2)-5)`
C. `(GM)/(4R)`
D. `(2GM)/(5R)(sqrt(2)-1)`

Answer

A

Explanation

वलयाकार डिस्क को हम बहुत-सी संकेन्द्री वलयो से बना मान सकते है। मान लो इनमे से एक वल्य की त्रिज्या r तथा सूक्ष्म चौड़ाई dr है। तब वलय का द्रव्यमान `dm=(M)/(pi(4R)^(2)-pi(3R)^(2))xx2pirdr`. इस वलय के कारण बिन्दु P पर विभव `dV_(P)=-(Gdm)/(sqrt(16R^(2)+r^(2)))`

वलयाकार डिस्क के कारण बिन्दु P पर विभव
`V_(p)=int_(3R)^(4R)-(Gdm)/(sqrt(16R^(2)+r^(2)))`
जहाँ `dm=(M)/(pixx7R^(2))xx2pir dr`
`=-(2GM)/(7R^(2))int_(3R)^(4r)(r dr)/(sqrt(16R^(2)+r^(2)))" ....(i)"`
समी (i) में माना `16R^(2)+r^(2)=x^(2)`
अथवा `2r dr = 2x dx`
अथवा `r dr = x dx`
इसके कारण समाकलन की परिवर्तित सीमायें होगी
जब `r=3R, x=sqrt(16R^(2)+9R^(2))=5R`
जब `r=4R, x=sqrt(16R^(2)+16R^(2))=4sqrt(2)R`
इस प्रकार समी (i) को लिख सकते है
`V_(p)=-(2GM)/(7R^(2))int_(5R)^(4sqrt(2))dx=-(2GM)/(7R^(2))(4sqrt(2)-5)R`
एकांक द्रव्यमान को बिन्दु P से अन्नत तल ले जाने में किया गया कार्य `=V_(oo)-V_(p)`
`=0-[-(2GM)/(7R)(4sqrt(2)-5)]=(2GM)/(7R)(4sqrt(2)-5)`