किसी `1.5 m` लम्बी `1.0 cm` त्रिज्या की क्षैतिज नली से ग्लिसरीन का अपरिवर्ती प्रवाह हो रहा है । यदि नली के एक सिरे पर प्रति सेकण्ड एकत्र होने वाली ग्लिसरीन का परिमाण `4.0 xx 10^(-3) kg^(-1)` है , तो नली के दोनों सिरों के बीच दाबांतर ज्ञात कीजिए । ( ग्लिसरीन का घनत्व `=1.3 xx 10^(3) kg m^(-3)` तथा ग्लिसरीन की श्यानता ` = 0.83` Pa-s )
[ आप यह भी जाँच करना चाहेंगे कि क्या इस नली में स्तरीय प्रवाह कि परिकल्पना सही है । ]

Explanation

प्रश्नानुसार नली की लम्बाई = `1.5` मीटर
नली की त्रिज्या `=1xx10^(-2)` मीटर
नली के एक सिरे प्रति सेकंड प्रवाहित ग्लिसरीन का द्रव्यमान
` = 4 xx 10^(-3) kg//s`
ग्लिसरीन का घनत्व`rho = 1.3 xx 10^(3) kg/m^(3)`
ग्लिसरीन की श्यानता `eta = 0.83` Pa-s
नली में प्रति सेकंड प्रवाहित ग्लिसरीन का आयतन
`V = m/rho = (4xx10^(-3))/(1.3 xx 10^(3))"मीटर"^(3) "/ सेकंड"`
` =(4xx10^(-6))/(1.3) "मीटर"^(3) "/ सेकंड"`
प्वॉयजली सूत्र से नली में ग्लिसरीन प्रवाह की दर
`V = (pi Pr^(4))/(8 etal)`
जहाँ P नली के सिरों के बीच दाबांतर है तथा l नली की लम्बाई है ।
अतः `P = (8 etalV)/(pir^(4)) = (8xx0.83 xx 1.5 xx 4 xx 10^(-6))/(3.14 xx(1xx10^(-2))^(4) xx 1.3)`
` = (8xx 83 xx15xx4xx10^(-6))/(314xx10^(-8) xx13)`
` = (8xx83xx60xx10^(2))/(314xx13) = (664xx60xx10^(2))/(314xx13)`
` = (39840xx10^(2))/(4082 = 9.75 xx 10^(2)) Pa`
इस नली में स्तरीय प्रवाह की जाँच करने के लिये रेनॉल्ड संख्या 2000 से कम होनी चाहिए ।
सूत्र रेनॉल्ड संख्या `k = (u_(c)rhoD)/eta` ....(i)
जहाँ `u_(c)`, क्रांतिक वेग
`rho`, द्रव का घनत्व
D, नली का व्यास (D = 2r)
`eta`, द्रव का श्यानता गुणांक है ।
स्तरीय प्रवाह धरारेखी होगा यदि `0 lt k lt 2000`
यहाँ `u_(c)=" प्रति सेकंड प्रवाहित द्रव का आयतन "/" नली का अनुप्रस्थ परिच्छेद क्षेत्रफल " = V/(pir^(2))`
` u_(c) = (m//rho)/(pir^(2)) = m/(rhopi r^(2))` ...(ii)
अतः `k = m/(rhopir^(2)) xx (rho xx2r)/eta`
` = (2m)/(pi r eta) = (2 xx 4 xx 10^(-3))/(3.14 xx 1xx10^(-2) xx 0.83)`
` = 8/(31.4 xx 83) = 8/(26.06)`
` k = 0.31`
यहाँ `2000 gt gt k`. अतः प्रवाह धरारेखी ही होगी ।