m द्रव्यमान का एक कण X-अक्ष पर मूलबिंदु के परितः दोलन कर रहा है इसकी स्थितिज ऊर्जा `U(x)=k|x|^3` है जहाँ K एक धन नियतांक है यदि दोलन का आयाम a है तब इसका आवर्तकाल T :

Options

A. `1//sqrta` के अनुक्रमानुपाती है
B. a पर निर्भर नहीं है
C. `sqrta` के अनुक्रमानुपाती है
D. `a^(3//2)` के अनुक्रमानुपाती है

Answer

A

Explanation

`xgt0` के लिए `U(x)=kx^3` . ऊर्जा संरक्षण से
`1/2mv^2+kx^3=ka^3`
जहाँ `ka^3` दोलन कि अन्तिम स्थिति (x = a) में स्थितिज ऊर्जा (= सम्पूर्ण ऊर्जा ) है उपरोक्त समीकरण से
`v=sqrt((2k)/m(a^3-x^3)) " अथवा " (dx)/(dt)=sqrt((2k)/m(a^3-x^3))`
माना कण को x = a से x = 0 तक आने में t समय लगता है अन्तिम समीकरण से
`sqrt(m/(2k))overset0undersetaint(dx)/(sqrt(a^3-x^3))=oversettunderset0intdt`
माना `x=asin^2theta` तब
`sqrt(m/(2k))overset0underset(pi//2)int(a(2sinthetacosthetad""theta))/(a^(3//2)sqrt((a-sin^6theta)))=t`
अथवा `t=1/sqrtasqrt((2m)/k)overset0underset(pi//2)intf(theta)d"theta`
`overset0underset(pi//2)intf(theta)d"theta` का मान a पर निर्भर नहीं है अतः आवर्तकाल
`T=4tprop1//sqrta`