यह दर्शाइए की रैखिक सरल आवर्त गति करते किसी कण के लिए दोलन की किसी अवधि की ओसत स्थितिज ऊर्जा के समान होती है।

Explanation

सरल आवर्त गति में किसी कण की गतिज ऊर्जा
`E_(k)=(1)/(2)mv^(2)`
एक आवर्तकाल में ओसत गतिज ऊर्जा
`(E_(k))_("ओसत")=(1)/(t)int_(0)^(T)(1)/(2)mv^(2)dt`
SHM विस्थापन `x=A sin omegat`
`v=(dx)/(dt)omega A cos omegat`
`(E_(k))_("ओसत")=(1)/(t)int_(0)^(T)(1)/(2)m omega^(2)cos^(2)omegat dt`
`=(1)/(2T)m omega^(2)A^(2)int_(0)^(T)((1+cos 2 omegat)/(2))dt`
`=(!)/(4T)m omega^(2)A^(2)[t+(sin 2omegat)/(2omega)]_(0)^(T)`
`(E_(k))_("ओसत")=(1)/(4T)m omega^(2)A^(2)(T-0)`
`=(1)/(4pi)momega^(2)A^(2)T`
`(E_(k))_("ओसत")=(1)/(4)m omega^(2)A^(2)" "....(i)`
हम जानते है SHM में स्थितिज ऊर्जा `=(1)/(2)kx^(2)`
`(PE)_("ओसत")=(1)/(2T)int_(0)^(T)kx^(2)dt`
SHM में यहाँ `T=2pisqrt((m)/(k))` या `T^(2)=4pi^(2)(m)/(k)`
या `k=m(4pi^(2))/(T^(2))=m((2pi)/(T^(2)))^(2)=m omega^(2)`
अतः `(PE)_("ओसत")=(1)/(2T)int_(0)^(T)m omega^(2)A^(2)sin^(2)omega tdt`
जहाँ `x =A sin omegat`
`=(1)/(2T)int_(0)^(T)m omega^(2)A^(2)((1-cos2 omegat)/(2))dt`
`:.cos 2 omega t=-2sin^(2)omegat`
`(PE)_("ओसत")=(1)/(4T)m omega^(2)A^(2)(t-(sin 2 omegat)/(2omega))`
`=(1)/(4T)m omega^(2)A^(2)(T)=(1)/(4)m omega^(2)A^(2)" "...(ii)`
अथार्त `(E_(k))_("ओसत")=(PE)_("ओसत")`