गणितीय आगमन के सिद्धान्त से सिद्ध कीजिए कि n के सभी प्राकृतिक मानो के लिये कथन
`1^(2)+2^(2)+3^(2)+...+n^(2)=(1)/(6)n(n+1)(2n+1)` सत्य है।

Explanation

माना P (n) :
`1^(2)+2^(2)+3^(2)+...+n^(2)=(1)/(6)n(n+1)(2n+1)` n = 1 के लिये
`L.H.S = 1^(2)=1`
`R.H.S.=(1)/(6).1.(1+1).(2.1+1)=(1)/(6).2.3=1`
`therefore` L.H.S. = R.H.S.
अतः P(n), n = 1 के लिये सत्य है।
माना P(n), n = k के लिये सत्य है।
`P(k) : 1^(2)+2^(2)+3^(2)+...+k^(2)=(1)/(6)k(k+1)(2k+1)`
दोनों पक्षों में `(k+1)^(2)` जोड़ने पर
`1^(2)+2^(2)+3^(2)+...+k^(2)+(k+1)^(2)`
`=(1)/(6)k(k+1)(2k+1)+(k+1)^(2)`
`=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^(2))/(6)`
`=(1)/(6)(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]`
`=(1)/(6)(k+1)(2k^(2)+7k+6)`
`=(1)/(6)(k+1)(k+2)(2k+3)`
`=(1)/(6)(k+1){(k+1)+1}{2(k+1)+1}`
`impliesP(n), n=k+1` के लिये भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से दिया कथन n के सभी प्राकृतिक मानो के लिये सत्य है।