गणितीय आगमन के सिद्धान्त से सिद्ध कीजिए कि n के सभी प्राकृतिक मानो के लिये कथन
` (1)/(1.2)+(1)/(2.3)+(1)/(3.4)+...+(1)/(n.(n+1))=(n)/(n+1)` सत्य है।

Explanation

माना P (n) : `
(1)/(1.2)+(1)/(2.3)+(1)/(3.4)+...+(1)/(n.(n+1))=(n)/(n+1)` n = 1 के लिये
`L.H.S.=(1)/(1.2)=(1)/(2)`
`R.H.S.=(1)/(1+1)=(1)/(2
)`
`therefore` L.H.S. = R.H.S.
अतः P(n), n = 1 के लिये सत्य है।
माना P(n), n = k के लिये सत्य है।
`P(k) : (1)/(1.2)+(1)/(2.3)+(1)/(3.4)+...+(1)/(k(k+1))=(k)/(k+1)`
दोनों पक्षों में `(1)/((k+1)(k+2))` जोड़ने पर
`(1)/(1.2)+(1)/(2.3)+(1)/(3.4)+...+(1)/(k(k+1))+(1)/((k+1)(k+2))=(k)/(k+1)+(1)/((k+1)(k+2))`
`=(k(k+2)+1)/((k+1)(k+2))`
`=(k^(2)+2k+1)/((k+1)(k+2))`
`=((k+1)^(2))/((k+1)(k+2))=(k+1)/((k+1)+1)`
implies P(n), n=k+1 के लिये भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से दिया कथन n के सभी प्राकृतिक मानो के लिये सत्य है।