यदि n कोई विषम धन पूर्णांक है तो किजिये कि `n (n ^(2 )-1 ),24 ` से विाभज्य है ।

Explanation

माना P (n) = `n.(n^(2)-1)` n = 1 के लिये
`P(1)=1.(1^(2)-1)=0=0xx24`
जो 24 से विभाज्य है।
अतः P(n), n = 1 के लिये सत्य है।
माना P(n), n = 2m - 1 के लिये सत्य है जबकि `m in N`, अतः n एक विषम संख्या है।
`therefore P(n) = P (2m-1)`
`implies4m(m-1)(2m-1)=24lambda" ...(1)"` n=2m+1 के लिये
`P(2m+1)=(2m+1)[(2m+1)^(2)-1]`
`=(2m+1)(4m^(2)+4m)`
`=4m(m+1)(2m+1)`
`=4m[2m^(2)+3m+1]`
`=4m[(2m^(2)-3m+1)+6m]`
`=4m[(m-1)(2m-1)+6m]`
`=4m(m-1)(2m-1)+24m^(2)`
`=24lambda+24m^(2)=24(lambda+m^(2))` [समीकरण (1) से]
`implies P(n), n = 2m+1` के लिये भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन से सिद्धांत से दिया गया कथन P(n), n के सभी विषम धन पूर्णाकों के लिये सत्य है।