`1+3+3^(2)+...+3^(n-1)=((3^(n)-1))/(2)`

Explanation

माना `P(n) : 1+3+3^(2)+...+3^(n-1)=(3^(n)-1)/(2)`
यदि n = 1 तो L.H.S. = 1
`R.H.S. = (3^(1)-1)/(2)=(3-1)/(2)=1`
`therefore` L.H.S. = R.H.S
अतः कथनP(n), n = 1 के लिए सत्य है।
तब माना कथन P(n), n = k के लिए सत्य है
`therefore P(k) : 1+3+3^(2)+...+3^(k-1)=(3^(k)-1)/(2)`
तब यदि n = k + 1 तो
`P(k+1):1+3+3^(2)+...+3^(k)`
`=1+3+3^(2)+...+3^(k)`
`=(1+3+3^(2)+...+3^(k-1))+3^(k)`
`=(3^(k)-1)/(2)+3^(k)`
`=(3^(k)-1+2.3^(k))/(2)=((1+2)3^(k)-1)/(2)`
`=(3.3^(k)-1)/(2)=(3^(k+1)-1)/(2)`
तब कथन P(n), n = K+1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धान्त से कथन `P(n), n in N` के लिए सत्य है।