`1^(3)+2^(3)+3^(3)+...+n^(3)=((n(n+1))/(2))^(2)`

Explanation

माना
`P(n):1^(3)+2^(3)+3^(3)+...+n^(3)=(1)/(4)n^(2)(n+1)^(2)` n = 1 के लिये
`L.H.S. =1^(3)=1,R.H.S.=(1)/(4).1^(2).(1+1)^(2)=1`
`therefore` L.H.S. = R.H.S.
implies P(n), n = 1 के लिये सत्य है।
माना P(n), n = k के लिये सत्य है।
`therefore P(k) : 1^(3)+2^(3)+3^(3)+...+k^(3)=(1)/(4)k^(2)(k+1)^(2) n=k+1` के लिये
`P(k+1):1^(3)+2^(3)+3^(3)+...+k^(3)+(k+1)^(3)`
`=(1)/(4)k^(2)(k+1)^(2)+(k+1)^(3)`
`=(k^(2)(k+1)^(2)+4(k+1)^(3))/(4)`
`=(1)/(4)(k+1)^(2){k^(2)+4(k+1)}`
`=(1)/(4)(k+1)^(2)(k^(2)+4k+4)`
`=(1)/(4)(k+1)^(2)(k+2)^(2)`
`implies P(n), n = k + 1` के लिये भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से P(n), n के सभी प्राकृतिक मानो के लिये सत्य है।