`1+(1)/((1+2))+(1)/((1+2+3))+...+(1)/((1+2+3+...+n))=(2n)/((n+1))`

Explanation

माना P (n) : `1+(1)/(1+2)+(1)/(1+2+3)+...+(1)/(1+2+3+...+n)=(2n)/(n+1)` n = 1 के लिये
L.H.S. = 1
R.H.S. `= (2.1)/(1+1)=(2)/(2)=1`
`therefore` L.H.S. = R.H.S.
अतः P(n), n = 1 के लिये सत्य है।
माना P(n), n = k के लिये सत्य है।
`P(k):1+(1)/(1+2)+(1)/(1+2+3)+...+(1)/(1+2+3+...+k)=(2k)/(k+1)`
दोनों पक्षों में `(1)/(1+2+3+...+k+(k+1))` जोड़ने पर
`1+(1)/(1+2)+(1)/(1+2+3)+...+(1)/(1+2+3+...+k)+(1)/(1+2+3+...+k+(k+1))` `=(2k)/(k+1)+(1)/(1+2+3+...+k+(k+1))`
`=(2k)/(k+1)+(2)/((k+1)(k+2))=(2k(k+2)+2)/((k+1)(k+2))`
`=(2(k^(2)+2k+1))/((k+1)(k+2))=(2(k+1)^(2))/((k+1)(k+2))`
`=(2(k+1))/(k+2)=(2(k+1))/((k+1)+1)`
implies P(n), n = k + 1 के लिये भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से दिया कथन n के सभी प्राकृतिक मानो के लिये सत्य है।