`1.2.3.+2.3.4+...+n(n+1)(n+2)=(n(n+1)(n+2)(n+3))/(4)`

Explanation

माना P (n) :
`1.2.3.+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)=(1)/(4)(n(n+1)(n+2)(n+3)` n = 1 के लिये
L.H.S. = 1.2.3 = 6
R.H.S.`=(1)/(4).1.(1+1)(1+2)(1+3)=6`
`therefore` L.H.S. = R.H.S.
implies P(n), n = 1 के लिये सत्य है।
माना P(n), n = k के लिये सत्य है।
`therefore P(k):1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+k(k+1)(k+2)=(1)/(4)k(k+1)(k+2)(k+3)` n = k + 1 के लिये
`P(k+1):1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)`
`=(1)/(4)k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)`
`=(k+1)(k+2)(k+3)((k)/(4)+1)`
`=(1)/(4)(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)`
implies P(n), n=k+1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत से P(n), n के सभी प्राकृतिक मानो के लिये सत्य है।