`1.3+2.3^(2)+3.3^(3)+…+n.3^(n)=((2n-1)3^(n+1)+3)/(4)`

Explanation

n = 1 के लिये
L.H.S. = 1.3=3
R.H.S. `=((2-1).3^(2)+3)/(4)`
`=(9+3)/(4)=3`
`therefore` L.H.S. = R.H.S.
अतः दिया गया कथन n = 1 के लिये सत्य है।
माना n = k के लिये कथन सत्य है।
`therefore 1.3+2.3^(2)+3.3^(3)+...+k.3^(k)`
`=((2k-1)3^(k+1)+3)/(4)" ...(1)"`
n = k + 1 के लिये
`1.3+2.3^(2)+3.3^(3)+...+k.3^(k)+(k+1).3^(k+1)`
`=((2k-1)3^(k+1)+3)/(4)+(k+1).3^(k+1)` [समीकरण (1) से]
`=((2k-1)3^(k+1)+3+4(k+1).3^(k+1))/(4)`
`=((2k-1+4k+4).3^(k+1)+3)/(4)`
`=((6k+3).3^(k+1)+3)/(4)`
`=(3(2k+1).3^(k+1)+3)/(4)`
`=((2k+1).3^(k+2)+3)/(4)`
implies कथन n = k + 1 के लिये भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत से दिया गया कथन n के सभी प्राकृतिक मानो के लिये सत्य है।