`1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=[(n(n+1)(n+2))/(3)]`

Explanation

माना
`P(n) : 1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)`
`=(1)/(3)n(n+1)(n+2)` n = 1 के लिए
L.H.S. = 1.2 = 2
R.H.S. `=(1)/(3).1.(1+1)(1+2)=2`
`therefore` L.H.S. = R.H.S.
implies P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
माना P(n), n = k के लिये सत्य है।
`therefore P(k) : 1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1)`
`=(1)/(3)k(k+1)(k+2)`
दोनों पक्षों में `(k+1)(k+2)` जोड़ने पर
`P(k+1):1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1)+(k+1)(k+2)`
`=(1)/(3)k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)`
`=(k+1)(k+2)((1)/(3)k+1)`
`=((k+1)(k+2)(k+3))/(3)`
implies P(n), n=(k+1) के लिये भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से P(n), n के सभी प्राकृतिक मानो के लिये सत्य है।