`1.3+3.5+5.7+...+(2n-1)(2n+1)=(n(4n^(2)+6n-1))/(3)`

Explanation

माना
`1.3+3.5+5.7+...+(2n-1)(2n+1)=(1)/(3)n(4n^(2)+6n-1)` n = 1 के लिये
L.H.S = 1.3 = 3
R.H.S. = `(1)/(3).1.(4.1^(2)+6.1-1)`
`=(1)/(3)(4+6-1)=3`
`therefore` L.H.S. = R.H.S.
अतः P(n), n = 1 के लिये सत्य है।
माना P(n), n = k के लिये सत्य है।
`P(k):1.3+3.5+5.7+...+(2k-1)(2k+1)`
`=(1)/(3)k(4k^(2)+6k-1)`
दोनों पक्षों में (2k+1) (2k+3) जोड़ने पर
`1.3+3.5+5.7+...+(2k-1)(2k+1)+(2k+1)(2k+3)`
`=(1)/(3)k(4k^(2)+6k-1)+(2k+1)(2k+3)`
`=(k(4k^(2)+6k-1)+3(2k+1)(2k+3))/(3)`
`=(1)/(3)(4k^(3)+18k^(2)+23k+9)`
`=(1)/(3)(k+1)(4k^(2)+14k+9)`
`=(1)/(3)(k+1)[4(k^(2)+2k+1)+6(k+1)-1]`
`=(1)/(3)(k+1)[4(k+1)^(2)+6(k+1)-1]` implies P(n), n = k + 1 के लिये भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से n के सभी प्राकृतिक मानो के लिये सत्य है।