`1.2+2.2^(2)+3.2^(2)+...+n.2^(n)=(n-1)2^(n+1)+2`

Explanation

n = 1 के लिये
L.H.S. = 1.2=2
R.H.S. = `(1-1).2^(1+1)+2`
`=0+2=2`
`because` L.H.S. = R.H.S.
`therefore` दिया गया कथन n = 1 के लिये सत्य है। माना दिया गया कथन n = k के लिये सत्य है।
`therefore 1.2+2.2^(2)+3.2^(3)+...+k.2^(k)=(k-1).2^(k+1)+2" ...(1)"` n = k + 1 के लिये
`1.2+2.2^(2)+3.2^(3)+...+k.2^(k)+(k+1).2^(k+1)`
`=(k-1).2^(k+1)+2+(k+1).2^(k+1)` [समीकरण (1) से]
`=[(k-1)+(k+1)].2^(k+1)+2`
`=2k.2^(k+1)+2`
`=k.2^(k+2)+2`
implies कथन n = k + 1 के लिये भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से दिया गया कथन n के सभी प्राकृतिक मानो के लिये सत्य है।