`(1)/(1.2.3)+(1)/(2.3.4)+(1)/(3.4.5)+...+(1)/(n(n+1)(n+2))=(n(n+3))/(4(n+1)(n+2))`

Explanation

माना P(n) : `(1)/(1.2.3)+(1)/(2.3.4)+(1)/(3.4.5)+...+(1)/(n(n+1)(n+2))=(n(n+3))/(4(n+1)(n+2))`
n = 1 के लिये,
L.H.S. = `(1)/(1.2.3)=(1)/(6)`
`R.H.S.=(1.(1+3))/(4.(1+1)(1+2))=(1)/(6)`
`therefore` L.H.S. = R.H.S.
implies P(n), n = 1 के लिये सत्य है।
माना P(n), n = k के लिये सत्य है।
`P(k):(1)/(1.2.3)+(1)/(2.3.4)+(1)/(3.4.5)+...+(1)/(k(k+1)(k+2))=(k(k+3))/(4(k+1)(k+2))`
दोनों पक्षों में `(1)/((k+1)(k+2)(k+3))` जोड़ने पर
`P(k+1):(1)/(1.2.3)+(1)/(2.3.4)+(1)/(3.4.5)+...+(1)/(k(k+1)(k+2))+(1)/((k+1)(k+2)(k+3))`
`=(k(k+3)^(2)+4)/(4(k+1)(k+2)(k+3))`
`=(k^(3)+6k^(2)+9k+4)/(4(k+1)(k+2)(k+3))`
`=((k+1)(k^(2)+5k+4))/(4(k+1)(k+2)(k+3))`
`=((k+1)(k+4))/(4(k+2)(k+3))`
implies P(n), n = k + 1 के लिये भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से दिया गया कथन P(n), n के सभी प्राकृतिक मानो के लिये सत्य है।