`a+ar+ar^(2)+...+ar^(n-1)=(a(r^(n)-1))/(r-1)`

Explanation

माना P(n) : `a+ar+ar^(2)+...+ar^(n-1)=(a(r^(n)-1))/(r-1)`
n = 1 के लिए,
`L.H.S.=a, R.H.S.=(a(r^(1)-1))/(r-1)=a`
`therefore` L.H.S. = R.H.S
implies P(n), n = 1 के लिये सत्य है।
माना P(n), n = k के लिये सत्य है।
`therefore P(k) : a+ar+ar^(2)+...+ar^(k-1)=(a(r^(k)-1))/(r-1)`
दोनों पक्षों में `ar^(k)` जोड़ने पर
`P(k+1):a+ar+ar^(2)+...+ar^(k-1)+ar^(k)`
`=(a(r^(k)-1))/(r-1)+ar^(k)=(a[(r^(k)-1)+r^(k)(r-1)])/(r-1)`
`=(a(r^(k)-1+r^(k+1)-r^(k)))/(r-1)=(a(r^(k+1)-1))/(r-1)`
implies P(n), n = k + 1 के लिये सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से P(n), n के सभी प्राकृतिक मानो के लिये सत्य है।