`(1+(3)/(1))(1+(5)/(4))(1+(7)/(9))...(1+((2n+1))/(n^(2)))=(n+1)^(2)`

Explanation

माना `P(n) : (1+3)(1+(5)/(4))(1+(7)/(9))...(1+(2n+1)/(n^(2)))=(n+1)^(2)`
n = 1 के लिये,
L.H.S. = 1+ 3 = 4, R.H.S. = `(1+1)^(2)=4`
`therefore` L.H.S. = R.H.S
implies P(n), n = 1 के लिये सत्य है।
माना P(n), n = k के लिये सत्य है।
`P(k) : (1+3)(1+(5)/(4))(1+(7)/(9))...(1+(2k+1)/(k^(2)))=(k+1)^(2)`
दोनों पक्षों में `{1+(2(k+1)+1)/((k+1)^(2))}` से गुणा करने पर
`P(k+1):(1+3)(1+(5)/(4))(1+(7)/(9))...(1+(2k+1)/(k^(2))).{1+(2(k+1)+1)/((k+1)^(2))}`
`=(k+1)^(2){1+(2(k+1)+1)/((k+1)^(2))}`
`=(k+1)^(2){((k+1)^(2)+2(k+1)+1)/((k+1)^(2))}`
`={(k+1)+1}^(2)=(k+2)^(2)=R.H.S.`
implies P(n), n = k + 1 के लिये सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से P(n), n के सभी प्राकृतिक मानो के लिये सत्य है।