`1^(2)+3^(2)+5^(2)+...+(2n-1)^(2)=(n(2n-1)(2n+1))/(3)`

Explanation

माना P(n) : `1^(2)+3^(2)+5^(2)+...+(2n-1)^(2)=(1)/(3)n(4n^(2)-1)`
n = 1 के लिये,
L.H.S. =`1^(2)=1`, R.H.S.=`(1)/(3).1.(4.1^(2)-1)=1`
`therefore` L.H.S. = R.H.S.
implies P(n), n = 1 के लिये सत्य है।
माना P(n), n = k के लिये सत्य है।
`therefore P(k):1^(2)+3^(2)+5^(2)+...+(2k-1)^(2)=(1)/(3)k(4k^(2)-1)`
दोनों पक्षों में `[2(k+1)-1]^(2)=(2k+1)^(2)` जोड़ने पर
`P(k+1):1^(2)+3^(2)+5^(2)+...+(2k-1)^(2)+(2k+1)^(2)=(1)/(3)k(4k^(2)-1)+(2k+1)^(2)`
`=(k(4k^(2)-1)+3(2k+1)^(2))/(3)`
`=(1)/(3)[4k^(3)-k+12k^(2)+12k+3]`
`=(1)/(3)(k+1)(4k^(2)+8k+3)`
`=(1)/(3)(k+1)[4(k^(2)+2k+1)-1]`
`=(1)/(3)(k+1)[4(k+1)^(2)-1]`
implies P(n), n = k + 1 के लिये सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से P(n), n के सभी प्राकृतिक मानो के लिये सत्य है