`(1)/(1.4)+(1)/(4.7)+(1)/(7.10)+...+(1)/((3n-2)(3n+1))=(n)/((3n+1))`

Explanation

माना P(n) : `(1)/(1.4)+(1)/(4.7)+(1)/(7.10)+...+(1)/((3n-2)(3n+1))=(n)/((3n+1))`
n = 1 के लिये,
L.H.S.=`(1)/(1.4)=(1)/(4)`, R.H.S.`=(1)/(3.1+1)=(1)/(4)`
`therefore` L.H.S. = R.H.S.
implies P(n), n = 1 के लिये सत्य है।
माना P(n), n = k के लिये सत्य है।
`therefore P(k):(1)/(1.4)+(1)/(4.7)+(1)/(7.10)+...+(1)/((3k-2)(3k+1))=(k)/(3k+1)`
दोनों पक्षों में `(1)/((3k+1)(3k+4))` जोड़ने पर
`P(k+1):(1)/(1.4)+(1)/(4.7)+(1)/(7.10)+...+(1)/((3k-2)(3k+1))+(1)/((3k+1)(3k+4))`
`=(k)/(3k+1)+(1)/((3k+1)(3k+4))=(k(3k+4)+1)/((3k+1)(3k+4))`
`=(3k^(2)+4k+1)/((3k+1)(3k+4))=((3k+1)(k+1))/((3k+1)(3k+4))=(k+1)/(3k+4)`
implies P(n), n = k + 1 के लिये सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से P(n), n के सभी प्राकृतिक मानो के लिये सत्य है