`(1)/(3.5)+(1)/(5.7)+(1)/(7.9)+...+(1)/((2n+1)(2n+3))=(n)/(3(2n+3))`

Explanation

माना P(n) : `(1)/(3.5)+(1)/(5.7)+(1)/(7.9)+...+(1)/((2n+1)(2n+3))=(n)/(3(2n+3))`
यदि n = 1 तो L.H.S. = `(1)/(3.5)`,
R.H.S. `=(1)/(3(2.1+3))=(1)/(3(2+3))=(1)/(3.5)`
`therefore` L.H.S. = R.H.S.
अतः दिया हुआ कथन P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
तब माना कथन P(n), n = k के लिए सत्य है।
`therefore P(k):(1)/(3.5)+(1)/(5.7)+(1)/(7.9)+...+(1)/((2k+1)(2k+3))=(k)/(3(2k+3))`
अब n = k + 1 के लिये,
`P(k+1):(1)/(3.5)+(1)/(5.7)+(1)/(7.9)+...+(1)/((2k+1)(2k+3))+(1)/((2k+3)(2k+5))`
`=((1)/(3.5)+(1)/(5.7)+(1)/(7.9)+...+(1)/((2k+1)(2k+3)))+(1)/((2k+3)(2k+5))`
`=(k)/(3(2k+3))+(1)/((2k+3)(2k+5))`
`=(1)/(3(2k+3))[k+(3)/(2k+5)]`
`=(1)/(3(2k+3)).(2k^(2)+5k+3)/((2k+5))`
`=(1)/(3(2k+3)).((2k+3)(k+1))/((2k+5))`
`=(k+1)/(3(2k+5))`
implies P(n), n = k + 1 के लिये सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से P(n), n के सभी प्राकृतिक मानो के लिये सत्य है