`1+2+3+...+nlt(1)/(8)(2n+1)^(2)`

Explanation

माना P(n) : `1+2+3+...+nlt(1)/(8)(2n+1)^(2)`
n = 1 के लिये,
L.H.S. = 1, R.H.S. `=(1)/(8)(2+1)^(2)=(9)/(8)`
`therefore` L.H.S. `lt` R.H.S.
implies P(n), n = 1 के लिये सत्य है।
माना P(n), n = k के लिये सत्य है।
`P(k):1+2+3+...+klt(1)/(8)(2k+1)^(2)" ...(1)"`
n = k + 1 के लिये,
`P(k+1):1+2+3+...+k+(k+1)lt(1)/(8)(2k+1)^(2)+(k+1)` [समीकरण (1) से]
`=((2k+1)^(2)+8(k+1))/(8)`
`=(4k^(2)+4k+1+8k+8)/(8)=(4k^(2)+12k+9)/(8)`
`=(1)/(8)(2k+3)^(2)=(1)/(8){2(k+1)+1}^(2)`
implies P(n), n = k + 1 के लिये सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से दिया कथन सभी `n in N` के लिये सत्य है।