`x^(2n)-y^(2n),(x+y)` से भाज्य है।

Explanation

माना P(n) : `x^(2n)-y^(2n),(x+y)` से भाज्य है।
यदि n = 1 तो `P(1):x^(2)-y^(2)=(x-y)(x+y)` जो x + y से विभाज्य है।
अतः कथन P(n), n = 1 के लिये सत्य है।
तब माना कि कथन P(n), n = k के लिए सत्य है।
`therefore P(k):x^(2k)-y^(2k),(x+y)` से भाज्य है।
अब यदि n=(k+1) हो तो
`P(k+1):x^(2(k+1))-y^(2(k+1)),x+y` से भाज्य होना चाहिए।
`x^(2(k+1))-y^(2(k+1))`
`=x^(2k+2)-y^(2k+2)`
`=x^(2k).x^(2)-y^(2k).y^(2)`
`=x^(2k).x^(2)-x^(2)y^(2k)+x^(2)y^(2k)-y^(2k).y^(2)`
`=x^(2)(x^(2k)-y^(2k))+y^(2k)(x^(2)-y^(2))`
`because` P(k) सत्य है।
`thereforex^(2)(x^(2k)-y^(2k)),(x+y)` से भाज्य है और
`y^(2k)(x-y)(x+y)` भी (x+y) से भाज्य है।
`therefore x^(2)(x^(2k)-y^(2k))+y^(2k)(x-y)(x+y),(x+y)` से भाज्य है।
`therefore P(k+1):x^(2(k+1))-y^(2(k+1)),(x+y)` से भाज्य है।
तब कथन P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है। अतः दिया हुआ कथन P(n), n के प्रत्येक मान के लिए सत्य है जबकि `n in N`|