एक गुणोत्तर श्रेणी के n , 2n और 3n पदों के योगफल क्रमशः `S _(1 ), S _(2 )` और `S _(3 )` हैं। सिद्ध कीजिए कि -
`(S_(2)-S_(1))^(2)=S_(1)(S_(3)-S_(2))`

Explanation

माना गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद 'a ' और सार्वअनुपात r है।
`S_(1)=n` पदों का योग `=(a(1-r^(n)))/(1-r) " " `...(1)
`S_(2)=2n` पदों का योग `=(a(1-r^(2n)))/(1-r) " "` ...(2)
`S_(3)=3n` पदों का योग `=(a(1-r^(3n)))/(1-r) " "` ...(3)
अब `S_(2)-S_(1)=(a(1-r^(2n)))/(1-r)-(a(1-r^(n)))/(1-r) " "`[समीकरण (1 ) और (2 ) से]
`=(a[1-r^(2n)-1+r^(n)])/(1-r)=(ar^(n)(1-r^(n)))/(1-r)`
और `L.H.S =(S_(2)-S_(1))^(2)=(a^(2)*r^(2n)(1-r^(n))^(2))/((1-r^(2))) " "`...(4)
`S_(3)-S_(2)=(a(1-r^(3n)))/(1-r)=(a(1-r^(2n)))/(1-r) " " `[समीकरण (2 ) और (3 ) से]
`=(a(1-r^(3n)-1+r^(2n)))/(1-r)`
`=(a*r^(2n)(1-r^(n)))/(1-r)`
और `R.H.S. =S_(1)*(S_(3)-S_(2))`
`=(a(1-r^(n)))/(1-r)*(ar^(2n)(1-r^(n)))/(1-r)`
`=(a^(2)*r^(2n)* (1-r^(n))^(2))/((1-r)^(2))`
`therefore L.H.S=R.H.S.` यही सिद्ध करना था।