दो संख्याओं a और b के बीच एक समान्तर माध्य `A` और दो गुणोत्तर माध्य `p` और `q` हैं, तो सिद्ध कीजिए कि
`p^(3)+q^(3)=2pqA`

Explanation

a और b का समान्तर माध्य A है।

`A=(a+b)/(2) " "`….(1)

a और b के मध्य दो गुणोत्तर माध्य `p` और `q` हैं।

अतः `a, p, q, b` गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

प्रथम 3 संख्याओं के लिये
`p^(2)=aq`

(चूँकि क्रमशः `a, G, b` के लिए `G^2 = ab`)

`rArr (p^(2))/(q)=a " "` ....(2)

अन्तिम 3 संख्याओं के लिये
`q^(2)=pb`

`rArr (q^(2))/(p)=b " "` ...(3)

समीकरण (2 ) और (3 ) को जोड़ने पर

`(p^(2))/(q)+(q^(2))/(p)=a+b`

`rArr (p^(3)+q^(3))/(pq)=2A" "` [ समीकरण (1 ) से ]

`rArr p^(3) +q^(3) = 2pqA`

यही सिद्ध करना था।