यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी के p वें, q वें , r वें और s वें पद गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि (p - q), (q - r), (r - s) गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।

Explanation

माना समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a और सार्वअंतर d है।
`therefore ` समान्तर श्रेढ़ी में
`T_(p)=a+(p-1)d`
`T_(q)=a+(q-1)d`
`T_(r)=a+(r-1)d`
`T_(s)=a+(s-1)d`
अब `T_(p),T_(q),T_(r),T_(s)` गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
`rArr (T_(q))/(T_(p))=(T_(r))/(T_(q))=(T_(s))/(T_(r))`
`rArr (T_(p))/(T_(q))=(T_(q))/(T_(r))=(T_(r))/(T_(s))`
`rArr (T_(p)-T_(q))/(T_(q)-T_(r))=(T_(q)-T_(r))/(T_(r)-T_(s))" "`(समानुपात के नियम से)
`rArr (a+(p-1)d-a-(q-1)d)/(a+(q-1)d-a-(r-1)d)`
`=(a+(q-1)d-a-(r-1)d)/(a+(r-1)d-a-(s-1)d)`
`rArr ((p-q)d)/((q-r)d)=((q-r)d)/((r-s)d)`
`rArr (p-q)/(q-r)=(q-r)/(r-s)`
`rArr (q-r)^(2)=(p-q)(r-s)`
`rArr p-q, q-r, r-s` गुणोत्तर श्रेढ़ी में है।
यही सिद्ध करना था।