एक समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि केन्द्रक और परिवृत्त का केन्द्र (परिकेन्द्र) सम्पाती होते हैं |

Explanation

दिया है : एक समबाहु त्रिभुज, ABC जिसमें D, E और F क्रमश : BC, CA और AB के मध्य बिन्दु हैं |

सिद्ध करना है : केन्द्रक और परिकेन्द्र सम्पाती हैं |
रचना : माध्यिका AD खींचते हैं |
उपपत्ति : `DeltaADB" और "DeltaACE" में,"`
`because" "{{:(AB=AC,,,("समबाहु त्रिभुज कि भुजाएँ")),(AD=AD,,," "("उभयनिष्ठ")),(BD=DC,,,(because D","BC" का मध्य बिन्दु है")):}`
`:." "Delta ADB~= DeltaADC" "(S.S.S.)`
`:." "angle1=angle2" "(c.p.c.t.)`
परन्तु `" "angle1+angle2=180^(@)" "(L.P.A.)`
`:." "angle1=angle2=90^(@)`
और `" "BD=DC" "("दिया है")`
`:.AD,BC` का लम्ब समद्विभाजक है |
इसका अर्थ है कि समबाहु त्रिभुज की माध्यिका और लम्ब समद्विभाजक समान हैं |
`implies" ""सभी माध्यिकायें = सभी लम्ब समद्विभाजक"`
`implies` माध्यिकाओं का प्रतिच्छेद बिन्दु = लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिन्दु
`implies" "`केन्द्रक = परिकेन्द्र
अर्थात एक समबाहु त्रिभुज के केन्द्रक और परिकेन्द्र हैं |