संलग्न चित्र में D, E और F, `DeltaPQR` की भुजाओं के मध्य बिन्दु हैं | बिन्दु P से QR पर डाले गये लम्ब का पाद 'S' है |
सिद्ध कीजिए कि,
(i) FQ = FS और `angleFQS=angleFSQ`
(ii) `angleFQS=angleFED`
(iii) `square "FSDE"` चक्रीय चतुर्भुज है |

Explanation

(i) `"PS"_|_"QR"`
`implies" "anglePSQ=90^(@)`
PQ का मध्य बिन्दु F है |
`:." "FS=(1)/(2)PQ" या "FS=FP`
अब `DeltaPQS` एक समकोण त्रिभुज है तथा हम जानते हैं कि समकोण त्रिभुज में कर्ण का मध्य बिन्दु तीनों शीर्षों से समान दूरी पर होता है |
`:." ""FQ"="FP"="FS"`
`implies" ""FQ"="FS"`
`implies" "angleFSQ=angleFQS" "...(1)`
(ii) PQ का मध्य बिन्दु F है तथा PR का मध्य बिन्दु E है |
`:." "FE||QR`
`implies" "FE||QD`
इसी प्रकार `" "FQ||ED`
`:.square"FEDQ"` एक समान्तर चतुर्भुज है |
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान होते हैं |
`:." "angleFQS=angleFED" "...(2)`
(iii) अब समीकरण (1) और (2) से,
`angleFSQ=angleFED`
परन्तु `angle"FSQ", square"FSDE"` का बहिष्कोण है |
`:.square"FSDE"` एक चक्रीय चतुर्भुज है |