सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की शीर्षों से सम्मुख भुजाओं पर डाले गये लम्ब संगामी होते हैं |

Explanation

दिया है : `DeltaABC` जिसमें B और C से सम्मुख भुजाओं AC और AB पर लम्ब क्रमश: BE और CF डाले गये हैं |
सिद्ध करना है : सभी शीर्षलम्ब संगामी हैं अर्थात एक ही बिन्दु से होकर जाते हैं |
रचना : AO को मिलाकर बढ़ाया जो BC को D पर मिलती है |

उपपत्ति : शीर्षलम्ब BE और CF एक-दूसरे को O पर काट रहे हैं | यदि हम सिद्ध कर दें कि `AOD_|_BC`, तो इसका अर्थ है कि सभी तीनों शीर्षलम्ब बिन्दु O से होकर जाएँगे |
अब, `" "angle1=angle2" "("प्रत्येक "90^(@))`
`:." "angle1+angle2=90^(@)+90^(@)=180^(@)`.
`:." "square"AEOF"` एक चक्रीय चतुर्भुज है |
`:." "angle3=angle4" "("एक वृत्तखण्ड के कोण बराबर होते हैं")" "...(1)`
अब, `because" "angle5=angle8" "("प्रत्येक "90^(@))`
परन्तु ये कोण रेखा के एक ओर के दो बिन्दुओं को मिलाने से बने रेखाखण्ड पर अन्तरित है |
अत:, B, F, E, C चक्रीय हैं |
अर्थात `" "square"BFEC"` चक्रीय है |
`:." "(angle5+angle3)+angle6=180^(@)" "("चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग")`
`implies" "90^(@)+angle4+angle6=180^(@)" "["समीकरण (1) से"]`
`implies" "angle4+angle6=90^(@)`
अब, `Delta ADC` में,
`angle7+angle4+angle6=180^(@)`
`implies" "angle4+90^(@)=180^(@)`
`:." "angle7=90^(@)`
इसका अर्थ है कि AO को D से मिलाने वाली रेखा BC पर लम्ब है |
अत:, सभी तीनों शीर्षलम्ब एक बिन्दु से होकर जाते हैं अर्थात वे संगामी हैं |