x के लिए हल कीजिए ।
` tan^(-1)""((2x)/(1-x^(2)))cot^(-1)""((1-x^(2))/(2x))=(pi)/(3), -1 lt x lt 1`

Explanation

हम जानते है कि
`tan^(-1)""((1)/(x))={{:(cot^(-1)x", " if x gt 0),(-pi+cot^(-1)x "," if x lt 0):}`
`={{:(tan^(-1)""((1)/(x)) ", " if x gt 0 ),( pi+tan^(-1)""((1)/(x))"," if xlt 0):}`
तब निम्नलिखित परिस्थितियाँ होती है :
स्थिति (i ):
यदि ` 0 lt x lt 1 `
तब `cot^(-1)""((1-x^(2))/(2x))=tan^(-1)""((2x)/(1-x^(2)))`
अतः दी दही समीकरण से ,
`2 tan^(-1)""((2x)/(1-x^(2)))=(pi)/(3)`
`implies4tan^(-1)x=(pi)/(3)`
`implies tan^(-1)x=(pi)/(12)`
`implies x=tan""(pi)/(12)=tan15^(@)=(sqrt(3)-1)/(sqrt(3)+1)`
स्थिति (ii ) :
यदि `-1 lt x lt 0`
तब , ` cot^(-1)""((1-x^(2))/(2x))=pi+tan^(-1)""((2x)/(1-x^(2)))`
तब , दी गयी समीकरण निम्न समीकरण में रूपान्तरित हो जाती है ।
` tan^(-1)""((2x)/(1-x^(2)))+pi+tan^(-1)""((2x)/(1-x^(2)))=-(2pi)/(3)`
`implies tan^(-1)""((2x)/(1-x^(2)))=-(pi)/(3)`
`implies 2tan^(-1)x=-(pi)/(3)`
`impliesx= tan(-(pi)/(6))implies x=-(1)/(sqrt(3))`
स्थिति (iii ) :
यदि `x=0`
तब बायाँ पक्ष `=tan^(-1)""((2x)/(1-x^(2)))+cot^(-1)""((1-x^(2))/(2x))`
`=tan^(-1)0+cot^(-1)(oo)=(pi)/(2)`
दायाँ पक्ष `=(pi)/(3)`
`implies x=0`दी गयी समीकरण का हल नहीं है ।