यदि `A=[(cos theta,-sin theta),(sin theta,cos theta)]`, तब दर्शाओ की `A^(n)=[(cos n theta,-sin n theta),(sin n theta,cos n theta)]` जहाँ n धनात्मक पूर्णांक है।

Explanation

यहाँ हम गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करेंगे।
माना `P(n) : A^(n)=[(cos n theta,-sin n theta),(sin n theta,cos n theta)]`
जब `n =1` बायाँ पक्ष `=A=[(cos theta,-sin theta),(sin theta,cos theta)]`
तथा दायाँ पक्ष `=[(cos theta,-sin theta),(sin theta,cos theta)]`
इस प्रकार `P(1)` सत्य है। ...(1)
माना `P(m)` सत्य है
`A^(m)=[(cos m theta,-sin m theta),(sin m theta,cos m theta)]` ...(2)
सिद्ध करना है की `P(m+1)` सत्य है अर्थात
`A^(m+1)=[(cos(m+1)theta,-sin(m+1)theta),(sin(m+1)theta,cos(m+1)theta)]` ...(3)
समी० (2) के दोनों पक्षों को आव्यूह A से गुना करने पर
`A^(m+1)=A[(cos m theta,-sin m theta),(sin m theta,cos m theta)]`
`=[(cos theta,-sin theta),(sin theta,cos theta)][(cos m theta,-sin m theta),(sin m theta,cos m theta)]`
`=[(cos thetacos m theta-sin theta sin m theta,-cos theta sin m theta-sin theta cos m theta),(sin theta cos m theta+ cos theta sin m theta,-sin theta sin m theta+cos theta cos m theta)]`
`=[(cos(m+1)theta,-sin(m+1)theta),(sin(m+1)theta,cos (m+1)theta)]`
इस प्रकार `P(m+1)` सत्य है जबकि `P(m)` सत्य है। ...(4)
समी० (1) व (4) से गणितीय आगमन के सिद्धांत से यह सिद्ध होता है की `P(n)`, सभी प्राकृत संख्याओं के लिए सत्य है।