क्या आव्यूह `A=[(a,b),(c,d)]` सम्बन्ध `A^(2)-A(a+d)+(ad-bc)I=0` को संतुष्ट करता है। जहाँ `I` एक `2` क्रम का इकाई आव्यूह है।

Options

A. हाँ
B. नहीं
C. कुछ भी नहीं कहा जा सकता
D. इनमे से कोई नहीं

Answer

A

Explanation

हम जानते हैं की-

`A=[(a,b),(c,d)]`

`:. A^(2)`
`=A.A`

`=[(a,c),(c,d)].[(a,b),(c,d)]`

`=[(a^(2)+bc,ab+bd),(ac+cd,bc+d^(2))]`

`rarrA.(a+d)`

`=[(a,c),(c,d)][a+d]`

`=[(a^(2)+ad,ab+bd),(ac+cd,ad+d^(2))]`

`rarr(ad-bc)I`

`=(ad-bc)[(1,0),(0,1)]`

`=[(ad-bc,0),(0,ad-bc)]`

इसलिए,

`A^(2)-A(a+d)+(ad-bc)I`

`=[(a^(2)+bc,ab+bd),(ac+cd,bc+d^(2))]``-[(a^(2)+ad,ab+bd),(ac+cd,ad+d^(2))]``+[(ad-bc,0),(0,ad-bc)]`

`=[(a^(2)+bc-a^(2)-ad+ad-bc,ab+bd-ab-bd+0),(ac+cd-ac-cd+0,bc+d^(2)-ad-d^(2)+ad-bc)]`

`=[(0,0),(0,0)]=0`

अतः आव्यूह दिए गए सम्बन्ध को संतुष्ट करता है।