फलन f की अवकलनीयता की जाँच कीजिए
`f(x)={("2x+3, यदि "-3 le x lt -2),(x+1",यदि "-2 le x lt 0),(x+2",यदि "0 le x le 1):}`

Explanation

उपरोक्त फलन की परिभाषा से स्पष्ट है की अवकलनीयता के लिए अनिश्चित बिंदु मात्र `x=-2` व `x=0` हैं।
(i) `x=-2` पर अवकलनीयता
`Lf'(-2)=lim_(h rarr 0) (f(-2-h)-f(-2))/(-h)`
`=lim_(h rarr 0) (2(-2-h)+3-(-2+1))/(-h)`
`=lim_(h rarr 0) (-2h)/(-h)=2`
तथा `Rf'(-2)=lim_(h rarr 0) (f(-2+h)-f(-2))/(h)`
`=lim_(h rarr 0) ((-2+h)+1-(-2+1))/(h)`
`=lim_(h rarr 0) h/h=1`
`implies Lf'(-2) ne Rf'(-2)`
`implies` फलन `f(x)`, बिंदु `x=-2` पर अवकलनीय नहीं है।
(ii) `x=0` पर अवकलनीयता
`Lf'(0)=lim_(h rarr 0) (f(0-h)-f(0))/(-h)`
`=lim_(h rarr 0) (f(-h)-f(0))/(-h)`
`=lim_(h rarr 0) (-h+1-(0+2))/(-h)`
`=lim_(h rarr 0) (-h-1)/(-h) =lim_(h rarr 0) (1+1/h)=1+(oo)=oo`
`implies Lf'(0)` का अस्तित्व नहीं है।
इसलिए फलन `f(x)`, बिंदु `x=0` पर अवकलनीय नहीं है।