a तथा b के किन मानों के लिए
`f(x)={(x^(2)", ",x le c),(ax+b", ",x gt c):}`
`x=c` पर अवकलनीय है?

Options

A. `a=2c` तथा `b=-c^(2)`
B. `a=3c` तथा `b=-c`
C. `a=c` तथा `b=-c^(2)`
D. `a=2c` तथा `b=-c^(3)`

Answer

A

Explanation

प्रश्नानुसार, दिया गया फलन बिंदु `x=c` पर अवकलनीय है।
`implies` फलन `f(x)`, बिंदु `x=c` पर सतत होगा।
( `:'` प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत होता है।)
`implies lim_(x rarr c^(-)) f(x)=lim_(x rarr c^(+)) f(x)=f(c)` (सततता की परिभाषा से)
`implies lim_(x rarr c^(-)) (x^(2))=lim_(x rarr c^(+))(ax+b)=c^(2)`
`implies c^(2)=ac+b` ...(1)
`:'` फलन `f(x)`, बिंदु `x=c` पर अवकलनीय है। (दिया है।)
`implies Lf'(c)=Rf'(c)`
`implies lim_(x rarr c^(-)) (f(x)-f(c))/(x-c)=lim_(x rarr c^(+)) (f(x)-f(c))/((x-c))`
`implies lim_(x rarr c^(-)) (((x^(2)-c^(2)))/((x-c)))=lim_(x rarr c^(+)) ((ax+b)-c^(2))/((x-c))`
`implies lim_(x rarr c^(-)) (x^(2)-c^(2))/((x-c)) =lim_(x rarr c^(+))=lim_(x rarr c^(+)) (ax+b-(ac+b))/((x-c))`
`implies lim_(x rarr c^(-)) (x+c)=lim_(x rarr c^(+)) (a(x-c))/((x-c))=a`
`implies 2c=a`
यह मान समीकरण (1) में रखने पर
`c^(2)=2c^(2)+b`
`implies b=-c^(2)`
अतः `a=2c` तथा `b=-c^(2)`