फलन `f(x)=|log_(e)x|, x gt 0` की अवकलनीयता की जाँच कीजिए।

Explanation

प्रश्नानुसार, `f(x)=|log_(e)x|={(-log_(e)x",",0 lt x lt 1),(log_(e)x",",x ge 1):}`
हम जानते हैं की लघुगणकीय फलन `log_(e)x, x gt 1` व `x lt 1` के लिए अवकलनीय होता है। इसलिए इसकी अवकलनीयता की जाँच बिंदु `x=1` पर करेंगे।
`Lf'(1)=lim_(x rarr 1^(-)) (f(x)-f(1))/((x-1))`
`=lim_(x rarr 1^(-)) (-log x-log 1)/((x-1))`
`=-lim_(x rarr 1^(-)) (log x)/((x-1))" "( :' log 1=0)`
`=-lim_(h rarr 0) (log (1-h))/(1-h-1)=-lim_(h rarr 0) (log (1-h))/(-h)=-1`
`[ :' log (1-h)=-(h+h^(2)/2+h^(3)/3-...)]`
इसी प्रकार
`Rf'(1)=lim_(x rarr 1^(+)) (f(x)-f(1))/((x-1))`
`=lim_(x rarr 1^(+)) (log x-log 1)/((x-1))=lim_(x rarr 1^(+)) (log x)/((x-1))`
`=lim_(h rarr 0) (log(1+h))/(1+h-1)=lim_(h rarr 0) (log (1+h))/h=1`
`[ :' log (1+h)=h-h^(2)/2+h^(3)/3+...]`
`:. Lf'(1) ne Rf'(1)`
फलन `f(x)=|log_(e)x|` बिंदु `x=1` पर अवकलनीय नहीं है।