यदि `f(x)={(x^(2)+3x+a,,,x le 1),(bx+2,,,x gt 1):}` प्रत्येक स्थान पर अवकलनीय है तो a व b के मान ज्ञात कीजिए।

Options

A. `b=-1` और `a=3`
B. `b=-5` और `a=3`
C. `b=-2` और `a=3`
D. `b=5` और `a=3`

Answer

D

Explanation

प्रश्नानुसार, `x le 1` के लिए `f(x)=x^(2)+3x+a` तथा `x gt 1` के लिए `f(x)=bx+2`
दोनों स्थिति में `f(x)` बहुपद है और हम जानते हैं की बहुपद फलन हमेशा अवकलनीय होता है। इसलिए हमें फलन की अवकलनीयता बिंदु `x=1` पर प्रयोग करनी है।
`:' f(x), x =1` पर अवकलनीय है, इसलिए `f(x)`, बिंदु `x=1` पर सतत होगा।
`implies lim_(x rarr 1^(-)) f(x)=lim_(x rarr 1^(+)) f(x)`
`implies lim_(x rarr 1^(-)) (x^(2)+3x+a)=lim_(x rarr 1^(+)) bx+2`
`implies 1+3+a=b+2`
`implies a-b+2=0` ...(1)
इसी प्रकार, `Lf'(1)=Rf'(1)`
`implies lim_(x rarr 1^(-)) (f(x)-f(1))/(x-1)=lim_(x rarr 1^(+)) (f(x)-f(1))/(x-1)`
`implies lim_(x rarr 1^(-)) (x^(2)+3x+a-(4+a))/(x-1) =lim_(x rarr 1^(+)) ((bx+2)-(4+a))/(x-1)`
`implies lim_(x rarr 1^(-)) (x^(2)+3x-4)/(x-1)=lim_(x rarr 1^(+)) (bx-2-a)/(x-1)`
`implies lim_(x rarr 1^(-)) ((x+4)(x-1))/(x-1)=lim_(x rarr 1^(+)) (bx-b)/(x-1)" "[ :' a=b-2]`
`implies lim_(x rarr 1^(-)) (x+4)=lim_(x rarr 1^(+)) (b(x-1))/(x-1)=lim_(x rarr 1) b=b`
`implies 1+4=b`
`implies b=5`
अब, b का यह मान समीकरण (1) में रखने पर `a=3`