माना फलन `f(x)` निम्न शर्तों को संतुष्ट करता है।
(i) `f(x+y)=f(x).f(y)" "AA x, y`
(ii) `f(x)=1+x.g(x)" जहाँ"lim_(x rarr 0) g(x)=1`
सिद्ध कीजिए की `f'(x)` का अस्तित्व है तथा `f'(x)=f(x) AA x`

Explanation

शर्त (i) का प्रयोग करने पर
`f(x+delta x)=f(x).f(delta x)`
`implies f(x+delta x)-f(x)=f(x)f(delta x)-f(x)`
`implies (f(x+delta x)-f(x))/(delta x)=(f(x)[f(delta x)-1])/(delta x)`
`=(f(x)delta x g(delta x))/(delta x)=f(x)g(delta x)`
`:. Lim_(delta x rarr 0) (f(x+delta x)-f(x))/(delta x)=lim_(delta x rarr 0) f(x)g (delta x)`
`=f(x).lim_(delta x rarr 0)g (delta x)`
`=f(x).1=f(x)`
`implies f'(x)=f(x) AA x`