सिद्ध कीजिए की `x=2` पर फलन `f(x)=|x-2|` सतत है, अवकलनीय नहीं।

Explanation

सर्वप्रथम सिद्ध करना है की `x=2` पर फलन `f(x)` सतत है।
तब, `f(2)=|2-2|=0`
अब `f(2+0)=lim_(h rarr 0) f(2+h)=lim_(h rarr 0) |2+h-2|`
`=lim_(h rarr 0) |h|=lim_(h rarr 0) h=0`
तथा `f(2-0)=lim_(h rarr0) f(2-h)=lim_(h rarr 0) |2-h-2|`
`=lim_(h rarr 0)|-h|=lim_(h rarr 0) h=0`
स्पष्टतः `f(2+0)=f(2-0)=f(2)`
`implies x=2` पर फलन `f(x)` सतत है।
`implies Rf'(2)=lim_(h rarr 0) (f(2+h)-f(2))/h`
`=lim_(h rarr 0) (|2+h-2|-0)/h`
`=lim_(h rarr 0) (|h|)/h=lim_(h rarr 0) h/h=1`
तथा `Lf'(2)=lim_(h rarr 0) (f(2-h)-f(2))/(-h)`
`=lim_(h rarr 0) (|2-h-2|-0)/(-h)`
`=lim_(h rarr 0) (|-h|)/(-h) =lim_(h rarr 0) h/(-h) =-1`
`:. Rf'(2) ne Lf'(2)`
अतः `x=2` पर `f(x)` अवकलनीय नहीं है।