फलन `f(x)=(x-3) log x` के लिए सिद्ध कीजिए की अंतराल [1, 3] में x का कम से कम एक मान है जो समीकरण `x log x=3-x` को संतुष्ट करता है।

Explanation

दिया है: `f(x)=(x-3) log x`
`implies f'(x)=(x-3) 1/x +1.log x`
यह स्पष्ट है की क्ष के सभी धनात्मक मानों के लिए `f(x)` परिमित है, इसलिए `f(x), x gt 0` के लिए अवकलनीय है।
`implies f(x)`, अंतराल [1, 3] में अवकलनीय है।
`implies f(x)`, अंतराल [1, 3] में भी अवकलनीय है।
तथा `f(x)`, अंतराल [1, 3] में सतत भी है।
( `:'` प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत भी होता है)
व `f(1)=(1-3) log 1=0`
तथा `f(3)=(3-3) log 3=0`
`implies f(1)=f(3)`
अतः `f(x)`, रोले के प्रमेय के सभी प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है। इसलिए रोले के प्रमेय से अंतराल [1, 3] में एक बिंदु x ऐसा होगा किसके लिए `f'(x)=0`
`:' f'(x)=((x-3))/x+log x`
अब `f'(x)=0implies ((x-3))/x+log x=0`
`implies x log x=(3-x)`, कम से कम एक `x in [1, 3]` के लिए।