अंतराल [1, 2] में फलन `f(x)=(x-1)(x-2)^(2)` के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।

Explanation

दिया है: `f(x)=(x-1)(x-2)^(2)` जोकि एक बहुपदीय फलन है।
`:. f(x), R` पर अवकलनीय एवं सतत है।
`implies f(x)`, अंतराल [1, 2] में अवकलनीय है।
`implies f(x)`, अंतराल [1, 2] में भी अवकलनीय होगा।
इसी प्रकार
`:' f(x)`, अंतराल [1, 2] में अवकलनीय है इसलिए `f(x)` अंतराल [1, 2] में भी सतत होगा।
( `:'` प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत होता है।)
तथा `f(1)=0=f(2)`
इस प्रकार हम कह सकते हैं की फलन `f(x)` रोले प्रमेय के सभी प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है। इसलिए रोले के प्रमेय से अंतराल [1, 2] में एक बिंदु c ऐसा अवश्य होगा जहाँ `f'(c)=0`
`:' f'(x)=1(x-2)^(2)+(x-1).2(x-2)`
`=(x-2)(3x-4)`
`implies f'(c)=(c-2)(3c-4)`
`f'(c)=0 implies (c-2)(3c-4)=0`
`implies c=2` या `c=4//3`
स्पष्टतः `c=4/3 in [1, 2]`
अतः रोले का प्रमेय सत्यापित होता है।