फलन `f(x)=sqrt(x^(2)-4)` के लिए अंतराल [2, 4] में लैंग्रिजे का मध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए।

Explanation

दिया है: `f(x)=sqrt(x^(2)-4) x in [2, 4]`
`implies f'(x)=x/sqrt(x^(2)-4)`
`implies f(x)` अंतराल [2, 4] में सतत तथा [2, 4] में अवकलनीय है।
`:.` फलन `f(x)=sqrt(x^(2)-4)`, अंतराल [2, 4] में लैग्रंजे प्रमेय के सभी प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है। अतः लैग्रंजे के मध्यमान प्रमेय से कम से कम एक ऐसे `c in [2, 4]` का अस्तित्व है जिसके लिए
`f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)`
`implies f'(c)=(f(4)-f(2))/(4-2)`
`[ :' f(4)=sqrt(4^(2)-4)=sqrt(12)=2sqrt(3), f(2)=0]`
`implies c/sqrt(c^(2)-4)=(2sqrt(3))/2 =sqrt(3)`
`implies c^(2)=3 (c^(2)-4) implies 2c^(2)=12`
`implies c=sqrt(6) in [2, 4]`
अतः लैग्रंजे का मध्यमान प्रमेय सत्यापित होता है।