फलन `f(x)=x^(2)+2x+3` के लिए अंतराल [4, 6] में लैंग्रिजे का मध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए।

Explanation

दिया है: `f(x)=x^(2)+2x+3`
जोकि एक बहुपदीय फलन (Polynomial function) है। इसलिए यह सर्वत्र सतत तथा अवकलनीय होता है।
`implies f(x)`, लैग्रंजे प्रमेय के सभी प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है। अतः लैग्रंजे के मध्यमान प्रमेय से अंतराल [4, 6] में एक ऐसे c का अस्तित्व है जिसके लिए
`f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)`
यहाँ `a=4, b=6`
`f'(x)=2x+2`,
`f'(c)=2c+2`
`f(6)=6^(2)+2xx6+3=36+12+3=51`
`f(4)=4^(2)+2xx4+3=16+8+3=27`
`:. 2c+2=(f(6)-f(4))/(6-4)=(51-27)/2=24/2=12`
`implies 2c=12-2=10`
`implies c=10/2=5`
स्पष्टतः `5 in [4, 6]`
अतः लैग्रंजे का मध्यमान प्रमेय सत्यापित होता है।