फलन `f(x)=x^(2)-2x+4` के लिए अंतराल [1, 5] में लैग्रंजे के मध्यमान प्रमेय को सत्यापित कीजिए।

Explanation

दिया है: `f(x)=x^(2)-2x+4` तथा अंतराल `[a, b]=[1, 5]`
`implies f'(x)=2x-2` तथा `a=1, b=5`
दिया गया फलन एक बहुपदीय फलन है, इसलिए यह सर्वत्र व विशेष रूप से अंतराल [1, 5] में सतत तथा [1, 5] में अवकलनीय है। अतः फलन `f(x)` लैग्रंजे प्रमेय के सभी प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है। इसलिए लैग्रंजे के मध्यमान प्रमेय से हम कह सकते हैं की अंतराल [1, 5] में कम से कम एक c का अस्तित्व है, जिसके लिए-
`f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)`
`implies 2c-2=(f(5)-f(1))/(5-1)`
`=((5^(2)-2xx5+4)-(1^(2)-2xx1+4))/4`
`=(19-3)/4=16/4=4`
`implies 2c=4+2=6`
`implies c=6/2 =3`
स्पष्टतः `c=3 in [1, 5]`
अतः लैग्रंजे का मध्यमान प्रमेय सत्यापित होता है।