सिद्ध कीजिए की `(1+x) lt e^(x) lt 1+xe^(x) AA x gt 0`

Explanation

माना `f(x)=e^(x)`
स्पष्टतः `f(x)`, अंतराल [0, x] में अवकलनीय तथा [0, x] में सतत फलन है इसलिए लैग्रंजे के मध्यमान प्रमेय से अंतराल [0, x] में एक ऐसे c का अस्तित्व है जिसके लिए-
`f'(c)=(f(x)-f(0))/(x-0)`
`implies e^(c)=(e^(x)-1)/x` ...(1)
`:' c in [0, x] implies 0 lt x lt x`
`implies e^(0) lt e^(c) lt e^(x)` ...(2)
समीकरण (1) व (2) से,
`e^(0) lt (e^(x)-1)/(x) lt e^(x) " "AA x gt 0`
`implies 1 lt (e^(x)-1)/x lt e^(x)" "AA x gt 0" "( :' e^(0)=1)`
`implies x lt (e^(x)-1) lt x e^(x)`
`implies (1+x) lt e^(x) lt 1+xe^(x) AA x gt 0`, यही सिद्ध करना था।