एक खुला आयताकार डिब्बा जिसका आधार वर्ग व पाशर्व फलक (Side face) उर्ध्वाधर है क आयतन 256 घन सेमी है यदि उसके बनाने में कम से कम चादर लगानी है तो उसकी विमायें ज्ञात कीजिये ।

Explanation

माना वर्गाकार आधार की प्रत्येक भुजा की लम्बाई = x सेमी
व डिब्बे की ऊँचाई = h सेमी
दिया है : डिब्बे का आयतन = 256 घन सेमी
` rArr x^(2) h = 256`
` rArr h = (256)/x^(2) ` ...(1)
अब , डिब्बे को बनाने में लगी चादर का क्षेत्रफल
S = आधार का क्षेत्रफल + चारों पाशर्व फलकों का क्षेत्रफल
` = ( x * x) + 4 ( x * h) = x ^(2) + 4 xh`
` = x^(2) + 4x * (256)/x^(2) = x^(2) + (1024)/x ` ..(2)
समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
` (dS)/(dx) = 2 x - (1024)/x^(2) ` ....(3)
S के उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ मान के लिए
` (dS)/(dx) = 0`
` rArr 2x - (1024)/x^(2) = 0 rArr 2x^(3) = 1024`
` rArr x^(3) = 512 = (8)^(3) `
` :. x = 8`
समीकरण (3) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर
` (d^(2)S)/(dx^(2)) = 2 + 2 * (1024)/x^(3)`
` ((d^(2)S)/(dx^(2)))_(x = 8) = 2 + ( 2 xx 1024)/((8)^(3)) ` (धन राशि )
` rArr x = 8 ` पर S का मान निम्निष्ठ होगा ।
अतः समीकरण (1) में x = 8 रखने पर
` h = (256)/8^(2) = (256)/64 = 4`
` rArr डिब्बे में कम से कम चादर लगाने के लिए आधार की भुजा की लम्बाई 8 सेमी तथा ऊँचाई 4 सेमी होगी ।