यदि एक खुले बेलनाकार बर्तन के पृष्ठ का क्षेत्रफल `100` वर्ग सेमी हो तो उसका अधिकतम आयतन क्या होगा ??

Options

A. `1000/(3 sqrt(3 pi ))` घन सेमी
B. `1000/(7 sqrt(3 pi ))` घन सेमी
C. `1000/(11 sqrt(3 pi ))` घन सेमी
D. `1000/(13 sqrt(3 pi ))` घन सेमी

Answer

A

Explanation

माना कि बर्तन की ऊँचाई h व आधार की त्रिज्या r है ।
दिया है : बर्तन का पृष्ठ = 100
हम जानते है कि,
बर्तन का पृष्ठ = आधार का क्षेत्रफल + वक्रपृष्ठ
` rArr 100 = pi r^(2) + 2 pi rh`
` rArr h = (100 - pi r^(2))/( 2 pi r) = 50/(pi r) - r/2 `
` :. ` बर्तन का आयतन , `V = pi r^(2) h `
` = pi r^(2) ( 50/ (pi r) - r / 2) `
` rArr V = 50 r - 1/2 pi r^(3) ` ....(1)
समीकरण (1) का के सापेक्ष अवकलन करने पर
` (dV)/(dr) = 50 - (3 pi r^(2))/2 `
` rArr (d^(2)V)/(dr^(2)) = - 3 pi r`
अब V के अधिकतम मान के लिए , `(dV)/(dr) = 0`
` rArr 50 - (3 pi r^(2))/2 = 0 `
` rArr r = sqrt(100/(3pi))`
स्पष्टतः `(d^(2)V)/(dr^(2)) = - 3 pi r lt 0 ` = ऋणात्मक
इसलिए ` r = sqrt(100/(3 pi)) ` के लिए आयतन महत्तम होगा ।
अब ,r का मान समीकरण (1) में रखने पर
बर्तन का अधिकतम आयतन ` = 50 sqrt(100/(3 pi)) - 1/2 pi 100/(3 pi) sqrt(100/(3 pi))`
` = 1000/(3 sqrt(3 pi )) ` घन सेमी